Sitio web ideado, diseñado y presentado por los alumnos de ESIME CULHUACAN:
-Benitez Barrios Carlos Alberto.
-Cristian Cesar Chicharo Urrutia.
-De la Rosa Zuñiga Manuel Alejandro.
-Oliveros Verdin Alejandro de Jesus
-Vera Bocanegra Francisco Javier.
Pertenecientes al grupo: 2CX07
Para la materia: Algebra Lineal
Isomorfismo
El término ‘isomorfismo’ quiere decir ‘igual forma’, con ello se busca destacar la idea según la cual existen similitudes y correspondencias formales entre diversos tipos de sistemas. La palabra isomórfico se refiere entonces a la construcción de modelos de sistemas similares al modelo original. El descubrimiento de un isomorfismo entre dos estructuras significa fundamentalmente que el estudio de cada una puede reducirse al de la otra, lo cual deja ver en claro dos puntos de vista desiguales sobre cada cuestión y suele ser primordial en su adecuada comprensión. Dos estructuras matemáticas entre las que existe una relación de isomorfismo se llaman isomorfas. En álgebra abstracta, isomorfismo es una biyectiva f tal que f y su inverso (que sería f elevado a -1) sean ambos homomorfismos. Esto significa que dos sistemas tienen una parte de su estructura general.
En la teoría de la categoría, un isomorfismo (o iso), es una flecha que posee una propiedad distintiva.
Sea una categoría C y objetos a y b de esta categoría. Una flecha,
es isomorfismo se y solamente se existe,
Isomorfismo de anillos
Sean B y C dos conjuntos con estructura de anillo y sea f una aplicación de B en C, f es un isomorfismo si cumplen las siguientes condiciones:
1- f es inyectiva (uno a uno).
2- f(x + y) = f(x) + f(y) (para todo x, y)
3- f(x . y) = f(x) . f(y) (para todo x, y)
O sea que la imagen del elemento x + y del conjunto B es idéntica a la imagen del elemento x + la imagen del elemento y.
Es importante saber que los signos + y . no representan la operaciones suma y producto, sino que representan a las operaciones que han sido definidas en el conjunto para que tenga estructura de anillo.
Veamos un Ejemplo:
Sean B = Z (el conjunto de los enteros) y C = 2Z (el conjunto de los enteros pares)
En B Y C se definirán las operaciones suma y producto tal como las conocemos.
La aplicación f que consiste en multiplicar por 2 no es un isomorfismo de anillo ya que no cumple la condición 3:
f(2) = 4, f(3) = 6, f(6) = 12
El concepto que está detrás del isomorfismo es puntualizar cuándo dos anillos son estructuralmente iguales, independientemente de si sus elementos son diferentes.
Comparar un anillo con otro mediante una función que sea compatible con las operaciones que ellos poseen es una forma útil para estudiar anillos conmutativos..Las funciones que se utilizan para ellos son los clásicos teoremas de homomorfismo e isomorfismo de la teoría de grupos, los cuales se cumplen también para anillos.
En la categoría de los espacios vectoriales dimensionalmente finitos, la dimensión es un invariante completo de isomorfismo. Es decir, para cualesquiera dos espacios vectoriales dimensionalmente finitos V y W sobre un campo F, existe un isomorfismo entre V y W si y sólo si dim(V) = dim(W).
Demostración
Sea V un espacio vectorial dimensionalmente finito sobre un campo F y sea b = (x1, ..., xm) una base ordenada de V. Para cada x Î V, existen escalares únicos a1, ..., am Î F tales que x = a1x1 + ... + amxm. Definimos al vector coordenado de x relativo a b como
Es fácil ver que el mapeo x |®
[ x ]b
constituye un isomorfismo ç : V ® Mn x 1(F).
Sean V y W dos espacio vectoriales dimensionalmente finitos sobre un campo F, b = {x1, ..., xm} una base ordenada de V y g = {y1, ..., xn} una base ordenada de W. Para cada T Î L(V, W), definimos la matriz asociada a T con respecto a las bases ordenadas b y g como
Por otro lado, dada una matriz A Î
Mn x
m(F), la función LA : Fm
® Fn definida
por LA(x) = Ax, es una
transformación línea
Ejercicio
Probar que la transformación lineal T: R2 → R3 tal que T(x,y) = (x,x + y,y) es inyectiva pero no sobreyectiva.
Solución
(i) Sean (x1, y1) y (x2, y2) elementos de R2, tales que T(x1, y1) = T(x2, y2). Entonces (x1, x1+ y1, y1) = (x2, x2 + y2, y2) y por lo tanto x1 = x2 y y1 = y2.
En conclusión (x1, y1) = (x2, y2) y esto significa que T es inyectiva. También conocida como T es uno a uno, escrita como 1 – 1.
https://www.youtube.com/watch?v=TSqMTwiXOZc
Sean B y C dos conjuntos con estructura de anillo y sea f una aplicación de B en C, f es un isomorfismo si cumplen las siguientes condiciones:
1- f es inyectiva (uno a uno).
2- f(x + y) = f(x) + f(y) (para todo x, y)
3- f(x . y) = f(x) . f(y) (para todo x, y)
O sea que la imagen del elemento x + y del conjunto B es idéntica a la imagen del elemento x + la imagen del elemento y.
Es importante saber que los signos + y . no representan la operaciones suma y producto, sino que representan a las operaciones que han sido definidas en el conjunto para que tenga estructura de anillo.
Veamos un Ejemplo:
Sean B = Z (el conjunto de los enteros) y C = 2Z (el conjunto de los enteros pares)
En B Y C se definirán las operaciones suma y producto tal como las conocemos.
La aplicación f que consiste en multiplicar por 2 no es un isomorfismo de anillo ya que no cumple la condición 3:
f(2) = 4, f(3) = 6, f(6) = 12
El concepto que está detrás del isomorfismo es puntualizar cuándo dos anillos son estructuralmente iguales, independientemente de si sus elementos son diferentes.
Comparar un anillo con otro mediante una función que sea compatible con las operaciones que ellos poseen es una forma útil para estudiar anillos conmutativos..Las funciones que se utilizan para ellos son los clásicos teoremas de homomorfismo e isomorfismo de la teoría de grupos, los cuales se cumplen también para anillos.
En la categoría de los espacios vectoriales dimensionalmente finitos, la dimensión es un invariante completo de isomorfismo. Es decir, para cualesquiera dos espacios vectoriales dimensionalmente finitos V y W sobre un campo F, existe un isomorfismo entre V y W si y sólo si dim(V) = dim(W).
Demostración
Sea V un espacio vectorial dimensionalmente finito sobre un campo F y sea b = (x1, ..., xm) una base ordenada de V. Para cada x Î V, existen escalares únicos a1, ..., am Î F tales que x = a1x1 + ... + amxm. Definimos al vector coordenado de x relativo a b como
[ x ]b
=
|
(
|
|
),
|
Sean V y W dos espacio vectoriales dimensionalmente finitos sobre un campo F, b = {x1, ..., xm} una base ordenada de V y g = {y1, ..., xn} una base ordenada de W. Para cada T Î L(V, W), definimos la matriz asociada a T con respecto a las bases ordenadas b y g como
[T]
|
|
=
|
(
|
[T(x1)]g ... [T(xm)]g
|
).
|
Ejercicio
Probar que la transformación lineal T: R2 → R3 tal que T(x,y) = (x,x + y,y) es inyectiva pero no sobreyectiva.
Solución
(i) Sean (x1, y1) y (x2, y2) elementos de R2, tales que T(x1, y1) = T(x2, y2). Entonces (x1, x1+ y1, y1) = (x2, x2 + y2, y2) y por lo tanto x1 = x2 y y1 = y2.
En conclusión (x1, y1) = (x2, y2) y esto significa que T es inyectiva. También conocida como T es uno a uno, escrita como 1 – 1.
https://www.youtube.com/watch?v=TSqMTwiXOZc
Cambios de base
Base
La base de un espacio vectorial es un subconjunto de un espacio vectorial que se extiende sobre un espacio vectorial determinado y es linealmente independiente en el mismo.
Esto es, si tenemos un espacio vectorial V y tenemos S como un subconjunto de este espacio vectorial, el cual consiste de n vectores de la forma v¬1¬, v¬2¬, v¬3¬ … v¬n¬ entonces podemos definir que este subconjunto es la base del espacio vectorial dado, si cumple las dos condiciones siguientes:
1. Este subconjunto se extiende a través del espacio vectorial dado. 2. S es subconjunto de V conteniendo los vectores de V, los cuales son linealmente independientes.
Con la ayuda de una ecuación lineal podemos representar tal conjunto como:
Aquí v es
un vector que yace en el espacio vectorial dado y los vectores n representados
como v-1¬, v¬2¬, v¬3¬, v¬n¬ forman parte de la base del espacio vectorial dado.
En caso
de que tengamos un número infinito de vectores en la base del espacio vectorial
dado, entonces llamaremos al espacio vectorial un espacio vectorial de
dimensión infinita, y la dimensión de tal espacio vectorial es y la dimensión
de un espacio vectorial nulo es el valor 0.
Puede
haber más de una base para un espacio vectorial dado. Esto significaría que es
posible definir los vectores dentro de un espacio vectorial dado como la
sumatoria de los vectores de ambas bases. Sea V un espacio vectorial y S la
base de este espacio vectorial.
Este
proceso puede ser considerado como una función identidad sobre los elementos
del espacio vectorial.
Ahora definamos todos los vectores V en
términos de los elementos finitos de esta base. Definamos ahora otra base para
este espacio vectorial. Ahora bien, si intentamos redefinir los elementos del
espacio vectorial como una sumatoria de los elementos del segundo vector,
llamamos a este proceso cambio de base.
Calcular la matriz de cambio de base de la base A a la base B.
A =
{(-1 0 -1); (-4 8 2);
(1 -3 -1)}
B = {(0 1 -1); (-1 1 0);
(6 -4 -1)}
¿Cómo resolver este problema?
La matriz de cambio
de base (o matriz de transición) C[A->B] de la base de la A a la base B, se
puede calcular transponiendo la matriz de los coeficientes cuando se expresan
los vectores de B como combinación lineal de los vectores de A.
Otra manera, la
que será utilizada, es multiplicando la inversa de la matriz de la base B por
la matriz de la base A, donde la matriz de una base es la matriz cuyas columnas
son los vectores de la base.
Las matrices de una base siempre son invertibles,
debido a su rango coincide con su orden. Este método de cálculo se basa en la
siguiente fórmula: C[A->B] = C[N->B]•C[A->N] donde N es la base
canónica, y C[N->B] = inv(C[B->N]). La matriz de cambio de base de
cualquier base B a la base canónica N es igual a la matriz de la base B.
Paso 1: Escribir la
matriz de cambio de base de la base B a la base canónica N (Es la matriz de la
base B).
┌ ┐
│ 0 -1 6 │
C[B->N] = │ 1 1 -4 │
│ -1
0 -1 │
└ ┘
Paso 2: Invertir la matriz C[B->N].
│ 0 -1
6 │
│ 1 1 -4 │
│
-1 0 -1 │
= 0•1•(-1) +
(-1)•(-4)•(-1) + 1•0•6 - 6•1•(-1) -(-1)•1•(-1) - (-4)•0•0= 1
┌ ┐
│
-1 5 1 │
Cof(C[B->N]) = │ -1 6 1 │
│
-2 6 1 │
└ ┘
┌ ┐
│
-1 -1 -2 │
Adj(C[B->N]) = │ 5 6 6 │
│ 1
1 1 │
└ ┘
┌ ┐
│
-1 -1 -2 │
Inv(C[B->N]) = C[N->B] = │ 5 6 6 │
│ 1
1 1 │
└ ┘
Paso 3: Escribir la matriz de cambio de base de la base A a la base canónica N
(Es la matriz de la base A).
┌ ┐
│
-1 -4 1 │
C[A->N] = │ 0 8 -3 │
│ -1
2 -1 │
└ ┘
Paso 4: Multiplicar las matrices C[N->B] y C[A->N].
C[A->B]11 = (-1)•(-1) + (-1)•0 + (-2)•(-1) = 3
C[A->B]12 = (-1)•(-4) + (-1)•8 +
(-2)•2 = -8
C[A->B]13 = (-1)•1 + (-1)•(-3) + (-2)•(-1) = 4
C[A->B]21 = 5•(-1) + 6•0 +
6•(-1) = -11
C[A->B]22 = 5•(-4) + 6•8 + 6•2 = 40
C[A->B]23 = 5•1 + 6•(-3) + 6•(-1) = -19
C[A->B] 31 = 1• (-1) + 1•0 + 1• (-1) = -2
C[A->B] 32 = 1• (-4) + 1•8 + 1•2 = 6
C[A->B] 33 = 1•1 + 1• (-3) + 1• (-1) = -3
┌ ┐
│
3 -8 4 │
C [A->B] = │ -11 40 -19 │
│ -2 6 -3 │
└ ┘
Ejercicio:
1.-
Siendo x = (x1, x2) un vector cualquiera de R2,
en dicho espacio vectorial se definen las aplicaciones lineales:
f(x)=2x1+x2;g(x)=x1+x2
Estudiar
si forman una base del dual de R2 y hallar la base de R2
de la que son dual.
Video de Ayuda: https://www.youtube.com/watch?v=1qLJUc9FOUo
A = {(-1 0 -1); (-4 8 2); (1 -3 -1)}
B = {(0 1 -1); (-1 1 0); (6 -4 -1)}
La matriz de cambio de base (o matriz de transición) C[A->B] de la base de la A a la base B, se puede calcular transponiendo la matriz de los coeficientes cuando se expresan los vectores de B como combinación lineal de los vectores de A.
Rango y Kernelde una transformación lineal.
Rango
El rango
de una transformación lineal, que es un invariante numérico que mide el
“tamaño” de la imagen.
Sea T:
V! W una transformación lineal. Si T
(V) = Im (T)
½ W tiene dimensión finita, se dice
que T tiene rango
finito y dimT (V)
¢ se llama el rango
de T y
se denota dim T (V)
= r (T).
Sean V
y W espacios vectoriales, ®
2 V ¤ y
w 2 W.
Se define la transformación lineal ®|w: V!
W de la siguiente forma: (®|w)
(v) = ® (v)
w
(1) En
caso de que la dimensión de V o la de W
sean finitas, se deduce que dimT
(V) es también finita y consecuentemente tiene sentido
hablar del rango de T. La demostración de la
finitud en los casos mencionados más arriba se deja como ejercicio. Puede
suceder que dimT (V)
sea finita aunque la dimensión de V y
de W sea infinitas como lo muestra el
siguiente ejemplo. T: |
[X]! | [X]
T (p) = p0
(0) (1+X+X2).
(2) Si ®
6= 0 2 V
¤ y w 2
W es un vector no nulo, es claro
que la transformación lineal ®|w: V!
W tiene rango uno. El lema que sigue generaliza ese
resultado.
Sea T: V!
W una transformación lineal de rango r
y {w1,...,
wr} una base de T
(V). Entonces existen ®1,...,
®r 2 V
¤ tales que T
= ®1|w1 +
· · · + ®r|wr
.
Demostración.
Si v 2 V,
escribimos T (v)
= ®1(v)
w1 + · · · + ®r
(v) wr para
ciertos escalares ®1(v),...,
®r (v).
Estos escalares definen funciones ®i: V!
| que son de hecho transformaciones lineales. De ahí
se deduce inmediatamente el resultado.
A
continuación daremos un método para calcular el rango de una transformación
lineal en términos de la matriz asociada en bases convenientes.
Sean S: V
0! V,
T: V! W y
R: W! W0 transformaciones
lineales.
Si S
y R son
invertibles, entonces si el rango de T es
finito también lo es el rango de RTS y
además r (T) = r (RTS).
Demostración.
R (RTS) = dimRTS
(V 0) ¢ =
dimRT (V) ¢ =
dimT (V) ¢ =
r (T).
La penúltima
igualdad es consecuencia de que R es un
isomorfismo de donde se deduce que R|T (V): T
(V)! RT (V) ¢
es también un isomorfismo.
Corolario
6.6. Sea T: V!
W una transformación lineal entre espacios de
dimensión finita. Si B y C
son bases de V y
W respectivamente,
entonces r (T)
=rLC [T] B
¢ recordar que LC [T] B: |n!
|m, donde n
y m son
las dimensiones de V y W
respectivamente.
Demostración.
Este resultado se deduce inmediatamente del lema anterior y del hecho de
que LC [T] B
= cCTc−1B,
donde cC y cB representan
los mapas coordenados.
Hemos
reducido el problema de calcular el rango de una transformación lineal T
al de calcular el rango de una transformación lineal de la forma LA.
Este último rango se calcula de la siguiente forma.
(1) Sea A
2 Mm×n y
llamemos cj(A),
j = 1,..., n a
los vectores de
|m definidos
por las columnas de A. En forma similar se
definen fi(A),
i = 1, m a los
vectores de |n definidos
por las filas de A. Por razones mnemotécnicas
representamos a los cj(A)
como vectores columna y a los fi(A)
como vectores fila.
(2) Se
define el rango por columnas de la
matriz A – y se denota como rc(A)
– como la dimensión del sub-espacio de |m formado
por los vectores cj(A),
j = 1, n.
En forma parecida
se define se define el rango por filas de
la matriz A – y se denota como rf(A)
como la dimensión del sub-espacio de |n formado
por los vectores fi(A),
i = 1,..., m.
Se puede
probar que si A es una matriz arbitraria el rango
por filas de A coincide con el rango por columnas
de A.
Sea A
2 Mm×n y
LA: |n!
|m la correspondiente
transformación lineal.
Entonces
LA (|n)
= hc1(A),...,
cn(A)
i y r (LA)
= rc(A).
Demostración.
El resultado se deduce directamente del siguiente hecho: si j
=
1,...,
n entonces LA
(ej) = cj(A).
¤
(1)
Teniendo en cuenta que los rangos por filas y por columnas de una matriz
arbitraria son iguales el teorema
anterior tiene también una versión “por filas”.
(2) En
particular se deduce de lo anterior que si C y
D son matrices invertibles, entonces el rango por
columnas de la matriz CAD coincide
con el rango por columnas de A.
Teniendo
en cuenta la igualdad del rango por filas y por columnas de una matriz, vale un
resultado análogo para los rangos por filas.
(3) En
definitiva, hemos probado que si T: V!
W es una transformación lineal entre espacios de
dimensión finita, entonces el rango de T coincide
con el rango por columnas de cualquier matriz asociada a T
en cualesquiera bases que elijamos. Teniendo en cuenta lo anterior vale
un resultado análogo para el rango por filas.
Consideremos
la trasformación lineal D: |3
[X]! |3
[X] definido como D
(p) = p0.
Queremos calcular el rango de D. Si B
= {1, X, X2,
X3} es la base estándar de |3
[X], tenemos que la matriz asociada a D
en esa base es
B [D] B
=0 1 0 0
0 0
2 0
0 0
0 3
0 0
0 0
Como la
primera columna es cero y las otras son múltiplos de los vectores e1,
e2, e3 de la
base canónica de |4, el
espacio generado por las columnas de esta matriz, tiene dimensión tres.
1. Definición (la imagen de una
transformación lineal).
Sean V; W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T
e L(V; W). La imagen de T se define como el conjunto de todos los valores de la
aplicación T:
im(T):=weW: EveV tal que w=T(v):e.
2. Definición (el núcleo de una
transformación lineal).
Sean V; W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T
e L (V; W). El Kernel de T se define como la pre-imagen completa del vector
nulo:
ker (T):=xeV: T(x) =0W.
3. Proposición (el núcleo de una
transformación lineal es un sub-espacio vectorial del dominio).
Sean V; W espacios vectoriales sobre un campo F y sea TeL
(V; W) Entonces
ker (T) es un sub-espacio de V.
4. Proposición (la imagen de una
transformación lineal es un sub-espacio vectorial del condominio).
Sean V; W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T
e L (V; W).Entonces
im (T) es un sub-espacio de W
.
Parte de demostración.
Se aplica el criterio de sub-espacio. Se demuestra que
el conjunto
im (T) es cerrado bajo la adición y bajo la
multiplicación por escalares, además contiene al vector cero.
Mostremos que el conjunto
im (T) es cerrado bajo la adición. Sean w1; w2 e im (T).
Por la definición de la imagen, existen v1; v2 e V tales que
w1=T (v1), w2=T (v2).
Por la linealidad de T, T (v1+v2) =T (v1) +T (v2) =w1+w2:
Logramos encontrar un vector x=v1+v2 tal que T(x)
=w1+w2.
Por la definición de la imagen, esto implica que w1+w2 e im (T).
Inyectividad y suprayectividad de
una transformación lineal en términos de su núcleo e imagen.
Definición de función suprayectiva
Una función f: X! Y se llama suprayectiva o sobreyectiva
si para cualquier y e Y existe un x e X tal que f(x) =y.
Observación (criterio de la suprayectividad de una
función en términos de su imagen).
Según la definición, f se llama suprayectiva si Y im (f).
Pero la contención im (f)=Y es válida cualquier función
f: X! Y.
Por lo tanto, f es suprayectiva
im (f) =Y:
Definición de función inyectiva
Una función f: X! Y se llama inyectiva si para
cualesquiera x1; x2 e X tales
que f(x1) =f(x2), se cumple
la igualdad x1=x2
.
Proposición (criterio de la inyectividad de una
transformación lineal en términos de su núcleo).
Sean V; W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T
e L (V; W). Entonces: T es inyectiva ker (T) =f0Vg:
Demostración.
Supongamos que T es inyectiva. Tenemos por demostrar
la igualdad ker (T)=f0Vg.
Sabemos que la contención f0Vg ker (T) se
cumple para cualquier transformación lineal.
Vamos a demostrar que ker (T)=f0Vg.
Para ello, consideremos un vector arbitrario v e ker (T)
y demostremos que v=0V.
Por la definición del núcleo tenemos que T (v) =0W. Por otro
lado, sabemos que T(0V) =0W.
De las últimas
dos igualdades sigue que T (v) =T (0V). Como T es
inyectiva, podemos
concluir que v=0V.
Supongamos que ker (T) =f0g.
Sean u; v e V tales que T (u) =T (v), demostremos que u=v.
Por la linealidad de T.
REPRESENTACION MATRICIAL
Sea T: V → W una transformación lineal, donde V y W
son espacios vectoriales.
Sean e1 = (1, 0, 0,…, 0), e2 = (0, 1, 0, 0,…, 0), e3 = (0, 0, 1, 0,…, 0),…, en = (0, 0, 0,…, 0, 1). Suponga que {e1, e2, e3,…,
en} es una base de V.
Ahora,
sea T (e1) = w1, T (e2) = w2, T (e3)
= w3,…, T (en) = wn.
Llamamos a AT la matriz cuyas
columnas son w1, w2, w3,…, wn. Entonces a la matriz AT se le
llama la representación matricial de T.
Ejemplos (para discusión):
Ejercicios: Halla la representación matricial AT
y el rango de la transformación lineal dada:
Respuestas:
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