Proyecciones y Bases Ortonormales
Definición:
Una matriz P∈Cnxn se dice que es una proyección si es una matriz idempotente. Es decir, si P2=P.
Proposición:
Si P∈Cnxn es una proyección también lo es In−P. A esta se le llama proyección complementaria de P y cumple que Ker(P) =Im(In−P) y Ker(In−P) =ImP.
Proposición:
Si P∈Cnxn es una proyección entonces Im(P)⊕Ker(P) = Cn
Conclusión:
Si P es una proyección, proyecta Cn sobre Im(P) a lo largo de Ker(P).
Proyecciones ortogonales
Definición:
Una proyección P∈Cn×n es ortogonal si Ker(P) = (Im(P))
Proposición:
Una proyección P es ortogonal si y solo si P=P
Proposición:
Una matriz P∈Cn×n de rango r es una proyección ortogonal si y solo si existe una matriz Q∈Cn×r, con columnas ortonormales, tal que P=Q.
Bases Ortonormales.
Los vectores de una base pueden ser mutuamente perpendiculares, o pueden no serlo. Cuando son mutuamente perpendiculares se dice que es una base ortogonal.
Recuérdese que dos vectores u y v en 
son ortogonales si y sólo si u · v = 0.
son ortogonales si y sólo si u · v = 0.
Si se tiene un conjunto de tres vectores u, v y w en 
, y se quiere verificar que sean un conjunto ortogonal, se necesitan realizar todas las combinaciones de los productos punto:
, y se quiere verificar que sean un conjunto ortogonal, se necesitan realizar todas las combinaciones de los productos punto:
u
· v
, u
· w
, v
· w
Ejemplo 1:
Sean los vectores u = (1, 2, 1), v = (4, 0, -4) y w = (1, -1, 1), ¿son un conjunto ortogonal?
Al realizar los productos punto:
u · v = 0 , u · w = 0 , v · w = 0
nos damos cuenta de que todos son iguales a cero, por lo que el conjunto de vectores es ortogonal.
Ejemplo 2:
Sean los vectores u = (1, 2, 1), v = (4, 0, -4) y w = (1, -1, 1); queremos determinar si son una base ortogonal de 
.
.
Son
3 vectores en 
,
se forma la matriz:
,
se forma la matriz: 
cuyo determinante (det) A = –24 (diferente de cero) , lo que implica que los vectores son linealmente independientes, y el conjunto es base de 
.
.
Realizamos los productos punto y obtenemos que:
u · v = 0, u · w = 0 y v · w = 0
por lo que el conjunto es ortogonal, entonces, es una base ortogonal.
Un conjunto de n vectores en 
es una base ortonormal si:
es una base ortonormal si:
·El conjunto es base de 
.
.· Es un conjunto ortogonal.
· Sus vectores son unitarios.
Ejemplo 3:
En el ejemplo 2 se determinó que los vectores u = (1, 2, 1), v = (4, 0, -4) y w = (1, -1, 1) forman una base ortogonal y se quiere saber si son base ortonormal, esto es, hay que calcular sus magnitudes.
Obtenemos que no son vectores unitarios, por lo tanto no es una base ortonormal.
Recordamos que se puede obtener un vector unitario, paralelo y en la misma dirección de un vector dado, dividiéndolo entre su magnitud:
Vector unitario =
Se dice que el nuevo vector está normalizado.
Ejemplo 4:
Al normalizar los vectores de la base ortogonal de los ejemplos 2 y 3 ,
u’ = 
v’ = 
w ‘ = 
se obtiene una nueva base ortonormal.
Ejemplo 5:
Sean los vectores 
. ¿Forman estos vectores una base ortonormal en 
?
. ¿Forman estos vectores una base ortonormal en 
?
Son
tres vectores en 
,
y la matriz 
que obtenemos al poner los vectores como columnas es la matriz
identidad, cuyo determinante vale 1. Esto implica que los vectores
forman una base en 
.
,
y la matriz 
que obtenemos al poner los vectores como columnas es la matriz
identidad, cuyo determinante vale 1. Esto implica que los vectores
forman una base en 
.
Los productos punto 
son todos cero. Y los tres son vectores unitarios, por lo que la base es ortonormal.
son todos cero. Y los tres son vectores unitarios, por lo que la base es ortonormal.
A esta base de 
se le conoce como la base canónica.
se le conoce como la base canónica.
Considere los vectores 
= (1, 0, 1), 
= (0, 1, 1) y 
= (1, 0, 0) base de . Transformar esta base en una base ortonormal por el proceso de Gram – Schmidt.
= (1, 0, 1), 
= (0, 1, 1) y 
= (1, 0, 0) base de . Transformar esta base en una base ortonormal por el proceso de Gram – Schmidt.
Primer paso:
Obtener un primer vector unitario 
:
: 
Segundo paso:
Obtener un vector 
ortogonal a 
:
ortogonal a 
: 
Tercer paso:
Normalizar 
:
:
Cuarto paso:
Obtener un vector 
ortogonal a 
y a 
:
ortogonal a 
y a 
:
Quinto paso:
Normalizar 
:
:
Finalmente, el conjunto de vectores 
, 
, y 
es una base ortonormal de 
.
, 
, y 
es una base ortonormal de 
.
Ejercicios Propuestos:
Bibliografia.
No hay comentarios:
Publicar un comentario