Bases Vectoriales y Dimensión.
Bases.
Se llama base de un espacio vectorial a un espacio generador de dicho espacio o un subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.
Dos vectores u y v con distinta dirección forman una base, porque cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de ellos.
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n:
a) n + 1 o más vectores en V son linealmente dependientes
b) Todo conjunto linealmente independiente, con n elemento es una base de V
c) Todo conjunto generador de V, con n elementos es una base de V
Ejemplo:
Consideremos en R4 los cuatro vectores:
(1,1,1,1) (0,1,1,0) (0,0,1,1) (0,0,0,1)
Notase que los vectores forman una matriz escalonada, por lo que son linealmente independientes. Más aun, dado que dim R4 = 4, los vectores constituyen una base de R4.
Ejercicio:
Demuestre que el conjunto: 
y 
son bases para 
y 
son bases para 
Solución:
Cualquier vector (a,b) perteneciente a R2 se puede escribir como (a,b)=a(1,0)+b(0,1), entonces B1 genera a R2.
Debemos probar que para cualquier vector (a,b) perteneciente a R2, existen escalares x, y tales que:
(a,b) = x(2,3) + y(1,1)
(a,b) = (2x + y, 3x + y)
2x + y = a
3x + y = b
Luego por la regla de Cramer el sistema tiene solución única para cualquier a, b reales; es decir B2 genera a .
Como el vector (2,3) no es C.L. de (1,1) entonces B2 es L.I. por tanto B2 es base para R2
Rango.
La dimensión es el máximo número de vectores independientes que podemos tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el máximo rango que puede tener un conjunto de vectores de dicho espacio.
Ejemplo:
Sea W un subespacio del espacio real de R3 = 3; por consiguiente, según la definición, la dimensión de W solo puede ser 0, 1, 2 o 3, según los siguientes casos:
1. Dim W = 0, con lo que W = {0}, un punto.
2. Dim W = 1, con lo que W es una recta por el origen.
3. Dim W = 2, con lo que W es un plano por el origen.
4. Dim W = 3, con lo que W es el espacio R3 entero.
Ejemplo:
Como los n vectores linealmente independientes en Rn generan a Rn y forman una base en Rn, entonces dimRn = n.
a) dimR2 = 2 pues {(1, 0), (0, 1)} forman base en R2.
b) dimR3 = 3 pues {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} forman base en R3.
c) dimR = 1, pues 1 es una base
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