La dependencia lineal ocurre cuando una fila o columna de
una matriz puede expresarse como suma y producto de otras filas o columnas de
la matriz.
Dentro de una matriz, una fila o una columna, es lineal mente
dependiente dentro del rango de filas o columnas si la podemos expresar como
combinación lineal de otras(Fig 3.0).
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| (Fig 3.0) |
La combinación lineal quiere decir, que podemos expresar esa
fila como el resultado de sumar filas que han sido multiplicadas por un numero
escalar. Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente
dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector
cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.
Varios vectores libres son linealmente independientes si
ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes
no son proporcionales.
Un conjunto de vectores es linealmente independiente si
ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.
Por ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es
linealmente independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no
lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.
Propiedades
1.- Si
varios vectores son linealmente dependientes, entonces al
menos uno de ellos se puede
expresar como combinación lineal
de los demás. También se cumple el reciproco: si un vector
es combinación
lineal de otros, entonces todos los vectores
son linealmente
dependientes.
2.- Dos vectores del plano son
linealmente
dependientes si, y sólo si, son paralelos.
3.- Dos vectores libres
del plano 
= (u1, u2)
y 
=
(v1, v2) son linealmente dependientes si sus
componentes son proporcionales.
= (u1, u2)
y =
(v1, v2) son linealmente dependientes si sus
componentes son proporcionales.
4.- Si un conjunto S de vectores es linealmente
independiente, cualquier reordenamiento de los vectores también lo es
5 .- Cualquier vector nulo v es por si solo linealmente
independiente, debido a que
Kv = 0, v ≠ 0 implica
k = 0
Ejemplo:
a) Los
vectores u = (1,-1,0), v = (1,3,-1) y w = (5,3,-2) son linealmente dependientes
porque:
3(1,-1,0) + 2(1,3,-1) – (5,3,-2) = (0,0,0)
Esto es, 3u + 2v – w = 0
3(1,-1,0) + 2(1,3,-1) – (5,3,-2) = (0,0,0)
Esto es, 3u + 2v – w = 0
b) Probamos
que los vectores u = (6,2,3,4), v = (0,5,-3,1) y w = (0,0,7,-2) son linealmente
independientes. Supongamos que xu +yv + zw = 0, donde x, y, z son escalares
desconocidos. En tal caso:
(0,0,0,0) =
x(6,2,3,4) + y(0,5,-3,1) + z(0,0,7,-2) =
=(6x , 2x + 5y, 3x
– 3y +7z , 4x + y -2z)
Y asi, por la igualdad de las componentes
correspondientes,
6x = 0
2x + 5y = 0
3x –y +7z = 0
4x + y – 2z = 0
La primera ecuación conduce a x = 0; la segunda, con x = 0, proporciona y =
0, y la tercera, con x = 0 e y = 0, lleva a z = 0. De este modo,
xu + yv + zw =
0 implica x = 0,
y = 0, z = 0
En consecuencia, u, v y w son linealmente independientes.
Ejercicio: Determina si los siguientes vectores son
linealmente independientes o dependientes.
a) Sea S = ((1,2) , (2,3)) un
subconjunto de R2.
a(1,2) + b(2,3) = (0,0)
(a + 2b , 2a + 3b) = (0,0)
a + 2b = 0
2a + 3b = 0
Usando la regla de Cramer se tiene
Lo que implica que S es linealmente independiente
a(1,2) + b(2,3) = (0,0)
(a + 2b , 2a + 3b) = (0,0)
a + 2b = 0
2a + 3b = 0
Usando la regla de Cramer se tiene
Lo que implica que S es linealmente independiente
b) Sea
S = ((-2,2) , (-1,1))
-1(-2,2) + 2(-1,1) = (0,0)
Como al menos uno de los escalares es diferente a 0, entonces el conjunto S es linealmente dependiente.
-1(-2,2) + 2(-1,1) = (0,0)
Como al menos uno de los escalares es diferente a 0, entonces el conjunto S es linealmente dependiente.
Los siguientes vídeos podrán resultara de apoyo para la comprensión de estos temas.
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