Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos,
llamados vectores, en el que están definidas dos operaciones, llamadas suma y multiplicación
por escalares (números reales), sujetas a los diez axiomas (o reglas) que se
enlistan a continuación.1 Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores
u, v y w en V y todos los escalares c y d
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1
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La suma de u y v, denotada mediante u + v, está en V
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2
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u + v = v + u.
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3
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(u + v) + w = u + (v + w)
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4
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Existe un vector cero 0 en V tal que u + 0 = u
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5
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Para cada u en V, existe un vector −u en V tal que u + (−u) = 0.
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6
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El múltiplo escalar de u por c, denotado mediante cu, está en V
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7
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c(u + v) = cu + cv
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8
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(c + d)u = cu + du
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c(du) = (cd)u.
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10
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1u = u.
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En el siguiente vídeo se comprueban los axiomas:
El espacio vectorial es algo muy abstracto, nosotros a la
hora de dibujar un espacio vectorial es dibujar un conjunto de vectores
Ejercicios
1.- Determinar el valor de x
para que el vector (1, x, 5) ∈
R^3 pertenezca al subespacio < (1, 2, 3),(1, 1, 1) >.
Solución. (1, x, 5) pertenece al subespacio < (1, 2, 3),(1, 1, 1)
> si y s´olo si (1, x, 5) es combinación
lineal de (1, 2, 3) y (1, 1, 1), o sea, si existen α, β ∈
R tales que
(1, x, 5) = α(1, 2, 3) + β(1, 1, 1),
Pero entonces,
1 = α + β
x = 2α + β
5 = 3α + β
y resolviendo el sistema anterior, tenemos α = 2, β = −1 y x = 3.
2.- Calcular bases de los
subespacios de R^4 S, T, S + T y S ∩ T, siendo S = {(x1, x2, x3, x4)|x1 − x2 =
0}
y T =< (1, 1, 2, 1),(2, 3,
−1, 1) >.
Solución. Tenemos
S = {(x1, x2, x3, x4)|x1 − x2 = 0} = {(x1, x1, x3, x4)|x1, x2, x3 ∈
R} =< (1, 1, 0, 0),(0, 0, 1, 0),(0, 0, 0, 1) >,
luego un sistema generador de S es {(1, 1, 0, 0),(0, 0, 1, 0),(0, 0, 0,
1)}. Ahora,
(0, 0, 0, 0) = α(1, 1, 0, 0) + β(0, 0, 1, 0) + γ(0, 0, 0, 1) ⇒
α = β = γ = 0,
o sea que es libre, resulta que BS = {(1, 1, 0, 0),(0, 0, 1, 0),(0, 0,
0, 1)} es una base de S.
Un sistema generador de T es (1, 1, 2, 1),(2, 3, −1, 1). Pero es
también libre, ya que
(0, 0, 0, 0) = λ(1, 1, 2, 1) + β(2, 3, −1, 1) →
0 = λ + 2β
0 = λ + 3β
0 = 2λ − β
0 = λ + β
y la única solución al sistema anterior es λ = β = 0. Por tanto, BT =
{(1, 1, 2, 1),(2, 3, −1, 1)} es una base
de T.
Por definición,
S + T = {s + t|s ∈ S y t ∈ T}
= {(x1, x1, x2, x3) + (α + 2β, α + 3β, 2α − β, α + β)|x1, x2, x3, α, β ∈
R}
=< (1, 1, 0, 0),(0, 0, 1, 0),(0, 0, 0, 1),(1, 1, 2, 1),(2, 3, −1, 1)
>
.
Por tanto, un sistema generador de S + T es {(1, 1, 0, 0),(0, 0, 1,
0),(0, 0, 0, 1),(1, 1, 2, 1),(2, 3, −1, 1)}. Pero
(1, 1, 2, 1) = (1, 1, 0, 0)+(0, 0, 1, 0)+(0, 0, 0, 1), luego {(1, 1, 0,
0),(0, 0, 1, 0),(0, 0, 0, 1),(2, 3, −1, 1)} es sistema
generador de S + T. Además, este sistema es libre luego es una base de
S + T.
Por ´ultimo, sabemos que S ∩ T es un subespecie vectorial de dimensión
1 porque
dim(S ∩ T) = dim(S + T) − dim(S) − dim(T)
Ahora, (1, 1, 2, 1) ∈ S ∪ T, luego como dim(S ∩ T) es 1, se tiene que < (1, 1, 2, 1) >= S ∩ T y una base de
S ∩ T es BS∩T = {(1, 1, 2, 1)}.
Subespacios:
En muchos problemas, un espacio vectorial consta de un subconjunto
adecuado de vectores
de algún espacio vectorial mayor. En este caso, será necesario verifi
car sólo tres
de los diez axiomas de espacios vectoriales. El resto quedarán
satisfechos de manera
automática.
DEFINICIÓN DE SUBESPACIO
VECTORIAL
Sea H un subconjunto no
vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial
bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V.
Entonces se dice que H es un subespacio de V.
Existen múltiples ejemplos
de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado que
hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad
sub espacio de V
Teorema de subespacio
Un subconjunto no vació de H
de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de
cerradura:
Reglas de cerradura para
ver si un subconjunto no vació es un sub espacio
i) Si x € H y y € H,
entonces x + y € H.
ii) Si x € H, entonces
αx € H para todo escalar α.
Es obvio que si H es un
espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se deberán cumplir. De
lo contrario, para demostrar que es un espacio vectorial, se deberá demostrar
que los axiomas i) a x) de la definición cumplen bajo las operaciones de suma
de vectores y multiplicación por un escalar definidas en V. Las dos operaciones
de cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hipótesis, como los vectores en
H son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa,
distributiva y multiplicativa [axiomas ii), v), vii), viii), ix)
y x)] se cumplen.
Este teorema demuestra que
para probar si H es o no es un sub espacio de V, es suficiente
verificar que:
x + y y αX están en H cuando x y y están
en H y α es un escalar.
PROPIEDADES DE SUB
ESPACIO VECTORIAL
1). El vector cero de V está en H.2
2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es,
para cada u y v en
H, la suma u + v está
en H.
3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares.
Esto es, para cada
u en H y cada
escalar c, el vector cu está en H.
Las propiedades (1), (2) y (3) garantizan que un subespacio H de V es
en sí mismo
un espacio vectorial, bajo las operaciones de espacio vectorial ya
definidas en V. Para
verifi car esto, observe que las propiedades (a), (b) y (c) son los
axiomas 1, 4 y 6. Los
axiomas 2, 3, y del 7 al 10 son verdaderos de manera automática en H
porque se aplican
a todos los elementos de V, incluidos aquellos que están en H. El
axioma 5 también es
verdadero en H, porque si u está en H, entonces (−1)u está en H según
(c), y por la
ecuación (3) de la página 217 se sabe que (−1)u es el vector −u del
axioma 5.
Así, todo subespacio es un espacio vectorial. De manera recíproca, todo
espacio
vectorial es un subespacio (de sí mismo o posiblemente de espacios
mayores). El término
subespacio es usado cuando se consideran por lo menos dos espacios, con
uno dentro
de otro, y la frase subespacio de V identifica a V como el espacio más
grande.
Sirve esto
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