Conceptos Fundamentales

Álgebra lineal:

Conceptos básicos.

El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como:
Vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en u enfoque más formal espacios vectoriales y transformaciones lineales(Fig.1.0)

Es un área que tiene muchas conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, campos de la ingeniería, por mencionar algunas.

(Fig 1.0)

A lo largo de la historia el ser humano ha elaborado ejemplos que le han hecho más fácil la tarea de resolver problemas, algunos de estos problemas son del tipo lineal, con esto nos referimos a que pueden manejarse como ecuaciones lineales con coeficientes en algún campo de números y con variables.

Pero… ¿Qué es una ecuación?
La palabra “Ecuación”  tiene sus orígenes en latín “aequatio” que significa igualdad. Con esto entendido una ecuación está conformada por una igualdad que contiene cantidades desconocidas.
Este es un ejemplo de ellas:

                                                              (Fig 1.1)

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto  que tiene fin o limite en el espacio tiempo.

Lenguaje de vectores.

En el siglo XVIII el álgebra era una herramienta que se utilizaba para resolver ecuaciones de cualquier grado, hasta que D’Alambert descubre que la solución de un sistema Ax=b forman una variedad lineal. Otros matemáticos como Euler y Lagrange(Fig 1.2) se dan cuenta que la solución general del sistema homogéneo Ax = 0 es una combinación lineal de algunas soluciones particulares.

(Fig 1.2)

En un periodo de tiempo de 1821-1895 aparecen Hamilton, Arthur Cayler y de 1809-1877 Hermann Gunther, Grassman(Fig 1.3).  Los cuales elaboran las nociones de vector y de espacio vectorial como una axiomatización de la idea de “vector” manejada por los estudiosos de la Mecánica desde fines del siglo XVII. Además, considerado el maestro del álgebra lineal, Grassmann introduce el producto geométrico y lineal, siendo el primero de éstos equivalente a nuestro producto vectorial.

(Fig 1.3)

También introduce las nociones de independencia lineal de un conjunto de vectores, así como de la dimensión de un espacio vectorial (temas que se verán más adelante) y prueba la clásica identidad  (Fig 1.4):

(Fig 1.4)

Álgebra de matrices.

El primero en usar el término “matriz” fue el matemático inglés James Joseph Sylvester en el año de 185, quien pudo definir una matriz como un arreglo cuadrilongo de términos.
Sylvester establece contacto con Cayley, el cual comprendió el concepto de matriz. En 1858, publica Memoir on the theory of matrices, la que contiene la primera definición abstracta de matriz. Cayley desarrolla el álgebra matricial definiendo las operaciones básicas de suma, multiplicación y multiplicación por escalares, así como la inversa de una matriz invertible.

(Fig 1.5)

Orígenes del determinante

Cardano en su “Ars Magna” Muestra una regla para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, a la cual llama “regula de modo”, y que en esencia es la conocida regla de crames para la solución de sistemas 2 x 2.

Jhosep-Louis Lagrange, en un articulo sobre mecánica publicado en 1773, menciona por primera vez la interpretación de determinante como un volumen. En efecto, se demuestra que el tetraedro formado por el origen o(0,0,0) y los tres puntos M1(X1,Y1,Z1) y M2(X2,Y2,Z2)  tiene volumen:

Este resultado también es atribuido a Grassman, quien prueba que el determinante del arreglo:

Representa el volumen del paralelepípedo determinado por los tres vectores fila.

Estructuras algebraicas y álgebra de matrices.

En algebra abstracta, la teoría de grupos estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos. Sus objetivos son la clasificación de grupos, propiedades y aplicaciones tanto dentro como fuera de las matemáticas. Las raíces históricas de la teoría de grupos son la teoría de las ecuaciones algebraicas, la teoría de números y la geometría.
Siendo todavía estudiante del Louis-le-Grand, Galois(Fig 1.6) logró publicar su primer trabajo, el desarrollo de una teoría nueva cuyas aplicaciones desbordaban con mucho los límites de las ecuaciones algebraicas: la teoría de grupos.

(Fig 1.6)