El término ‘isomorfismo’ quiere decir ‘igual forma’, con ello se busca destacar la idea según la cual existen similitudes y correspondencias formales entre diversos tipos de sistemas. La palabra isomórfico se refiere entonces a la construcción de modelos de sistemas similares al modelo original. El descubrimiento de un isomorfismo entre dos estructuras significa fundamentalmente que el estudio de cada una puede reducirse al de la otra, lo cual deja ver en claro dos puntos de vista desiguales sobre cada cuestión y suele ser primordial en su adecuada comprensión. Dos estructuras matemáticas entre las que existe una relación de isomorfismo se llaman isomorfas. En álgebra abstracta, isomorfismo es una biyectiva f tal que f y su inverso (que sería f elevado a -1) sean ambos homomorfismos. Esto significa que dos sistemas tienen una parte de su estructura general.
En la teoría de la categoría, un isomorfismo (o iso), es una flecha que posee una propiedad distintiva.
Sea una categoría C y objetos a y b de esta categoría. Una flecha,
es isomorfismo se y solamente se existe,
Isomorfismo de anillos
Sean B y C dos conjuntos con estructura de anillo y sea f una aplicación de B en C, f es un isomorfismo si cumplen las siguientes condiciones:
1- f es inyectiva (uno a uno).
2- f(x + y) = f(x) + f(y) (para todo x, y)
3- f(x . y) = f(x) . f(y) (para todo x, y)
O sea que la imagen del elemento x + y del conjunto B es idéntica a la imagen del elemento x + la imagen del elemento y.
Es importante saber que los signos + y . no representan la operaciones suma y producto, sino que representan a las operaciones que han sido definidas en el conjunto para que tenga estructura de anillo.
Veamos un Ejemplo:
Sean B = Z (el conjunto de los enteros) y C = 2Z (el conjunto de los enteros pares)
En B Y C se definirán las operaciones suma y producto tal como las conocemos.
La aplicación f que consiste en multiplicar por 2 no es un isomorfismo de anillo ya que no cumple la condición 3:
f(2) = 4, f(3) = 6, f(6) = 12
El concepto que está detrás del isomorfismo es puntualizar cuándo dos anillos son estructuralmente iguales, independientemente de si sus elementos son diferentes.
Comparar un anillo con otro mediante una función que sea compatible con las operaciones que ellos poseen es una forma útil para estudiar anillos conmutativos..Las funciones que se utilizan para ellos son los clásicos teoremas de homomorfismo e isomorfismo de la teoría de grupos, los cuales se cumplen también para anillos.
En la categoría de los espacios vectoriales dimensionalmente finitos, la dimensión es un invariante completo de isomorfismo. Es decir, para cualesquiera dos espacios vectoriales dimensionalmente finitos V y W sobre un campo F, existe un isomorfismo entre V y W si y sólo si dim(V) = dim(W).
Demostración
Sea V un espacio vectorial dimensionalmente finito sobre un campo F y sea b = (x1, ..., xm) una base ordenada de V. Para cada x Î V, existen escalares únicos a1, ..., am Î F tales que x = a1x1 + ... + amxm. Definimos al vector coordenado de x relativo a b como
Es fácil ver que el mapeo x |®
[ x ]b
constituye un isomorfismo ç : V ® Mn x 1(F).
Sean V y W dos espacio vectoriales dimensionalmente finitos sobre un campo F, b = {x1, ..., xm} una base ordenada de V y g = {y1, ..., xn} una base ordenada de W. Para cada T Î L(V, W), definimos la matriz asociada a T con respecto a las bases ordenadas b y g como
Por otro lado, dada una matriz A Î
Mn x
m(F), la función LA : Fm
® Fn definida
por LA(x) = Ax, es una
transformación línea
Ejercicio
Probar que la transformación lineal T: R2 → R3 tal que T(x,y) = (x,x + y,y) es inyectiva pero no sobreyectiva.
Solución
(i) Sean (x1, y1) y (x2, y2) elementos de R2, tales que T(x1, y1) = T(x2, y2). Entonces (x1, x1+ y1, y1) = (x2, x2 + y2, y2) y por lo tanto x1 = x2 y y1 = y2.
En conclusión (x1, y1) = (x2, y2) y esto significa que T es inyectiva. También conocida como T es uno a uno, escrita como 1 – 1.
https://www.youtube.com/watch?v=TSqMTwiXOZc
Sean B y C dos conjuntos con estructura de anillo y sea f una aplicación de B en C, f es un isomorfismo si cumplen las siguientes condiciones:
1- f es inyectiva (uno a uno).
2- f(x + y) = f(x) + f(y) (para todo x, y)
3- f(x . y) = f(x) . f(y) (para todo x, y)
O sea que la imagen del elemento x + y del conjunto B es idéntica a la imagen del elemento x + la imagen del elemento y.
Es importante saber que los signos + y . no representan la operaciones suma y producto, sino que representan a las operaciones que han sido definidas en el conjunto para que tenga estructura de anillo.
Veamos un Ejemplo:
Sean B = Z (el conjunto de los enteros) y C = 2Z (el conjunto de los enteros pares)
En B Y C se definirán las operaciones suma y producto tal como las conocemos.
La aplicación f que consiste en multiplicar por 2 no es un isomorfismo de anillo ya que no cumple la condición 3:
f(2) = 4, f(3) = 6, f(6) = 12
El concepto que está detrás del isomorfismo es puntualizar cuándo dos anillos son estructuralmente iguales, independientemente de si sus elementos son diferentes.
Comparar un anillo con otro mediante una función que sea compatible con las operaciones que ellos poseen es una forma útil para estudiar anillos conmutativos..Las funciones que se utilizan para ellos son los clásicos teoremas de homomorfismo e isomorfismo de la teoría de grupos, los cuales se cumplen también para anillos.
En la categoría de los espacios vectoriales dimensionalmente finitos, la dimensión es un invariante completo de isomorfismo. Es decir, para cualesquiera dos espacios vectoriales dimensionalmente finitos V y W sobre un campo F, existe un isomorfismo entre V y W si y sólo si dim(V) = dim(W).
Demostración
Sea V un espacio vectorial dimensionalmente finito sobre un campo F y sea b = (x1, ..., xm) una base ordenada de V. Para cada x Î V, existen escalares únicos a1, ..., am Î F tales que x = a1x1 + ... + amxm. Definimos al vector coordenado de x relativo a b como
[ x ]b
=
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(
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),
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Sean V y W dos espacio vectoriales dimensionalmente finitos sobre un campo F, b = {x1, ..., xm} una base ordenada de V y g = {y1, ..., xn} una base ordenada de W. Para cada T Î L(V, W), definimos la matriz asociada a T con respecto a las bases ordenadas b y g como
[T]
|
|
=
|
(
|
[T(x1)]g ... [T(xm)]g
|
).
|
Ejercicio
Probar que la transformación lineal T: R2 → R3 tal que T(x,y) = (x,x + y,y) es inyectiva pero no sobreyectiva.
Solución
(i) Sean (x1, y1) y (x2, y2) elementos de R2, tales que T(x1, y1) = T(x2, y2). Entonces (x1, x1+ y1, y1) = (x2, x2 + y2, y2) y por lo tanto x1 = x2 y y1 = y2.
En conclusión (x1, y1) = (x2, y2) y esto significa que T es inyectiva. También conocida como T es uno a uno, escrita como 1 – 1.
https://www.youtube.com/watch?v=TSqMTwiXOZc
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