Base
La base de un espacio vectorial es un subconjunto de un espacio vectorial que se extiende sobre un espacio vectorial determinado y es linealmente independiente en el mismo.
Esto es, si tenemos un espacio vectorial V y tenemos S como un subconjunto de este espacio vectorial, el cual consiste de n vectores de la forma v¬1¬, v¬2¬, v¬3¬ … v¬n¬ entonces podemos definir que este subconjunto es la base del espacio vectorial dado, si cumple las dos condiciones siguientes:
1. Este subconjunto se extiende a través del espacio vectorial dado. 2. S es subconjunto de V conteniendo los vectores de V, los cuales son linealmente independientes.
Con la ayuda de una ecuación lineal podemos representar tal conjunto como:
Aquí v es
un vector que yace en el espacio vectorial dado y los vectores n representados
como v-1¬, v¬2¬, v¬3¬, v¬n¬ forman parte de la base del espacio vectorial dado.
En caso
de que tengamos un número infinito de vectores en la base del espacio vectorial
dado, entonces llamaremos al espacio vectorial un espacio vectorial de
dimensión infinita, y la dimensión de tal espacio vectorial es y la dimensión
de un espacio vectorial nulo es el valor 0.
Puede
haber más de una base para un espacio vectorial dado. Esto significaría que es
posible definir los vectores dentro de un espacio vectorial dado como la
sumatoria de los vectores de ambas bases. Sea V un espacio vectorial y S la
base de este espacio vectorial.
Este
proceso puede ser considerado como una función identidad sobre los elementos
del espacio vectorial.
Ahora definamos todos los vectores V en
términos de los elementos finitos de esta base. Definamos ahora otra base para
este espacio vectorial. Ahora bien, si intentamos redefinir los elementos del
espacio vectorial como una sumatoria de los elementos del segundo vector,
llamamos a este proceso cambio de base.
Calcular la matriz de cambio de base de la base A a la base B.
A =
{(-1 0 -1); (-4 8 2);
(1 -3 -1)}
B = {(0 1 -1); (-1 1 0);
(6 -4 -1)}
¿Cómo resolver este problema?
La matriz de cambio
de base (o matriz de transición) C[A->B] de la base de la A a la base B, se
puede calcular transponiendo la matriz de los coeficientes cuando se expresan
los vectores de B como combinación lineal de los vectores de A.
Otra manera, la
que será utilizada, es multiplicando la inversa de la matriz de la base B por
la matriz de la base A, donde la matriz de una base es la matriz cuyas columnas
son los vectores de la base.
Las matrices de una base siempre son invertibles,
debido a su rango coincide con su orden. Este método de cálculo se basa en la
siguiente fórmula: C[A->B] = C[N->B]•C[A->N] donde N es la base
canónica, y C[N->B] = inv(C[B->N]). La matriz de cambio de base de
cualquier base B a la base canónica N es igual a la matriz de la base B.
Paso 1: Escribir la
matriz de cambio de base de la base B a la base canónica N (Es la matriz de la
base B).
┌ ┐
│ 0 -1 6 │
C[B->N] = │ 1 1 -4 │
│ -1
0 -1 │
└ ┘
Paso 2: Invertir la matriz C[B->N].
│ 0 -1
6 │
│ 1 1 -4 │
│
-1 0 -1 │
= 0•1•(-1) +
(-1)•(-4)•(-1) + 1•0•6 - 6•1•(-1) -(-1)•1•(-1) - (-4)•0•0= 1
┌ ┐
│
-1 5 1 │
Cof(C[B->N]) = │ -1 6 1 │
│
-2 6 1 │
└ ┘
┌ ┐
│
-1 -1 -2 │
Adj(C[B->N]) = │ 5 6 6 │
│ 1
1 1 │
└ ┘
┌ ┐
│
-1 -1 -2 │
Inv(C[B->N]) = C[N->B] = │ 5 6 6 │
│ 1
1 1 │
└ ┘
Paso 3: Escribir la matriz de cambio de base de la base A a la base canónica N
(Es la matriz de la base A).
┌ ┐
│
-1 -4 1 │
C[A->N] = │ 0 8 -3 │
│ -1
2 -1 │
└ ┘
Paso 4: Multiplicar las matrices C[N->B] y C[A->N].
C[A->B]11 = (-1)•(-1) + (-1)•0 + (-2)•(-1) = 3
C[A->B]12 = (-1)•(-4) + (-1)•8 +
(-2)•2 = -8
C[A->B]13 = (-1)•1 + (-1)•(-3) + (-2)•(-1) = 4
C[A->B]21 = 5•(-1) + 6•0 +
6•(-1) = -11
C[A->B]22 = 5•(-4) + 6•8 + 6•2 = 40
C[A->B]23 = 5•1 + 6•(-3) + 6•(-1) = -19
C[A->B] 31 = 1• (-1) + 1•0 + 1• (-1) = -2
C[A->B] 32 = 1• (-4) + 1•8 + 1•2 = 6
C[A->B] 33 = 1•1 + 1• (-3) + 1• (-1) = -3
┌ ┐
│
3 -8 4 │
C [A->B] = │ -11 40 -19 │
│ -2 6 -3 │
└ ┘
Ejercicio:
1.-
Siendo x = (x1, x2) un vector cualquiera de R2,
en dicho espacio vectorial se definen las aplicaciones lineales:
f(x)=2x1+x2;g(x)=x1+x2
Estudiar
si forman una base del dual de R2 y hallar la base de R2
de la que son dual.
Video de Ayuda: https://www.youtube.com/watch?v=1qLJUc9FOUo
A = {(-1 0 -1); (-4 8 2); (1 -3 -1)}
B = {(0 1 -1); (-1 1 0); (6 -4 -1)}
La matriz de cambio de base (o matriz de transición) C[A->B] de la base de la A a la base B, se puede calcular transponiendo la matriz de los coeficientes cuando se expresan los vectores de B como combinación lineal de los vectores de A.
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