Rango
El rango
de una transformación lineal, que es un invariante numérico que mide el
“tamaño” de la imagen.
Sea T:
V! W una transformación lineal. Si T
(V) = Im (T)
½ W tiene dimensión finita, se dice
que T tiene rango
finito y dimT (V)
¢ se llama el rango
de T y
se denota dim T (V)
= r (T).
Sean V
y W espacios vectoriales, ®
2 V ¤ y
w 2 W.
Se define la transformación lineal ®|w: V!
W de la siguiente forma: (®|w)
(v) = ® (v)
w
(1) En
caso de que la dimensión de V o la de W
sean finitas, se deduce que dimT
(V) es también finita y consecuentemente tiene sentido
hablar del rango de T. La demostración de la
finitud en los casos mencionados más arriba se deja como ejercicio. Puede
suceder que dimT (V)
sea finita aunque la dimensión de V y
de W sea infinitas como lo muestra el
siguiente ejemplo. T: |
[X]! | [X]
T (p) = p0
(0) (1+X+X2).
(2) Si ®
6= 0 2 V
¤ y w 2
W es un vector no nulo, es claro
que la transformación lineal ®|w: V!
W tiene rango uno. El lema que sigue generaliza ese
resultado.
Sea T: V!
W una transformación lineal de rango r
y {w1,...,
wr} una base de T
(V). Entonces existen ®1,...,
®r 2 V
¤ tales que T
= ®1|w1 +
· · · + ®r|wr
.
Demostración.
Si v 2 V,
escribimos T (v)
= ®1(v)
w1 + · · · + ®r
(v) wr para
ciertos escalares ®1(v),...,
®r (v).
Estos escalares definen funciones ®i: V!
| que son de hecho transformaciones lineales. De ahí
se deduce inmediatamente el resultado.
A
continuación daremos un método para calcular el rango de una transformación
lineal en términos de la matriz asociada en bases convenientes.
Sean S: V
0! V,
T: V! W y
R: W! W0 transformaciones
lineales.
Si S
y R son
invertibles, entonces si el rango de T es
finito también lo es el rango de RTS y
además r (T) = r (RTS).
Demostración.
R (RTS) = dimRTS
(V 0) ¢ =
dimRT (V) ¢ =
dimT (V) ¢ =
r (T).
La penúltima
igualdad es consecuencia de que R es un
isomorfismo de donde se deduce que R|T (V): T
(V)! RT (V) ¢
es también un isomorfismo.
Corolario
6.6. Sea T: V!
W una transformación lineal entre espacios de
dimensión finita. Si B y C
son bases de V y
W respectivamente,
entonces r (T)
=rLC [T] B
¢ recordar que LC [T] B: |n!
|m, donde n
y m son
las dimensiones de V y W
respectivamente.
Demostración.
Este resultado se deduce inmediatamente del lema anterior y del hecho de
que LC [T] B
= cCTc−1B,
donde cC y cB representan
los mapas coordenados.
Hemos
reducido el problema de calcular el rango de una transformación lineal T
al de calcular el rango de una transformación lineal de la forma LA.
Este último rango se calcula de la siguiente forma.
(1) Sea A
2 Mm×n y
llamemos cj(A),
j = 1,..., n a
los vectores de
|m definidos
por las columnas de A. En forma similar se
definen fi(A),
i = 1, m a los
vectores de |n definidos
por las filas de A. Por razones mnemotécnicas
representamos a los cj(A)
como vectores columna y a los fi(A)
como vectores fila.
(2) Se
define el rango por columnas de la
matriz A – y se denota como rc(A)
– como la dimensión del sub-espacio de |m formado
por los vectores cj(A),
j = 1, n.
En forma parecida
se define se define el rango por filas de
la matriz A – y se denota como rf(A)
como la dimensión del sub-espacio de |n formado
por los vectores fi(A),
i = 1,..., m.
Se puede
probar que si A es una matriz arbitraria el rango
por filas de A coincide con el rango por columnas
de A.
Sea A
2 Mm×n y
LA: |n!
|m la correspondiente
transformación lineal.
Entonces
LA (|n)
= hc1(A),...,
cn(A)
i y r (LA)
= rc(A).
Demostración.
El resultado se deduce directamente del siguiente hecho: si j
=
1,...,
n entonces LA
(ej) = cj(A).
¤
(1)
Teniendo en cuenta que los rangos por filas y por columnas de una matriz
arbitraria son iguales el teorema
anterior tiene también una versión “por filas”.
(2) En
particular se deduce de lo anterior que si C y
D son matrices invertibles, entonces el rango por
columnas de la matriz CAD coincide
con el rango por columnas de A.
Teniendo
en cuenta la igualdad del rango por filas y por columnas de una matriz, vale un
resultado análogo para los rangos por filas.
(3) En
definitiva, hemos probado que si T: V!
W es una transformación lineal entre espacios de
dimensión finita, entonces el rango de T coincide
con el rango por columnas de cualquier matriz asociada a T
en cualesquiera bases que elijamos. Teniendo en cuenta lo anterior vale
un resultado análogo para el rango por filas.
Consideremos
la trasformación lineal D: |3
[X]! |3
[X] definido como D
(p) = p0.
Queremos calcular el rango de D. Si B
= {1, X, X2,
X3} es la base estándar de |3
[X], tenemos que la matriz asociada a D
en esa base es
B [D] B
=0 1 0 0
0 0
2 0
0 0
0 3
0 0
0 0
Como la
primera columna es cero y las otras son múltiplos de los vectores e1,
e2, e3 de la
base canónica de |4, el
espacio generado por las columnas de esta matriz, tiene dimensión tres.
1. Definición (la imagen de una
transformación lineal).
Sean V; W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T
e L(V; W). La imagen de T se define como el conjunto de todos los valores de la
aplicación T:
im(T):=weW: EveV tal que w=T(v):e.
2. Definición (el núcleo de una
transformación lineal).
Sean V; W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T
e L (V; W). El Kernel de T se define como la pre-imagen completa del vector
nulo:
ker (T):=xeV: T(x) =0W.
3. Proposición (el núcleo de una
transformación lineal es un sub-espacio vectorial del dominio).
Sean V; W espacios vectoriales sobre un campo F y sea TeL
(V; W) Entonces
ker (T) es un sub-espacio de V.
4. Proposición (la imagen de una
transformación lineal es un sub-espacio vectorial del condominio).
Sean V; W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T
e L (V; W).Entonces
im (T) es un sub-espacio de W
.
Parte de demostración.
Se aplica el criterio de sub-espacio. Se demuestra que
el conjunto
im (T) es cerrado bajo la adición y bajo la
multiplicación por escalares, además contiene al vector cero.
Mostremos que el conjunto
im (T) es cerrado bajo la adición. Sean w1; w2 e im (T).
Por la definición de la imagen, existen v1; v2 e V tales que
w1=T (v1), w2=T (v2).
Por la linealidad de T, T (v1+v2) =T (v1) +T (v2) =w1+w2:
Logramos encontrar un vector x=v1+v2 tal que T(x)
=w1+w2.
Por la definición de la imagen, esto implica que w1+w2 e im (T).
Inyectividad y suprayectividad de
una transformación lineal en términos de su núcleo e imagen.
Definición de función suprayectiva
Una función f: X! Y se llama suprayectiva o sobreyectiva
si para cualquier y e Y existe un x e X tal que f(x) =y.
Observación (criterio de la suprayectividad de una
función en términos de su imagen).
Según la definición, f se llama suprayectiva si Y im (f).
Pero la contención im (f)=Y es válida cualquier función
f: X! Y.
Por lo tanto, f es suprayectiva
im (f) =Y:
Definición de función inyectiva
Una función f: X! Y se llama inyectiva si para
cualesquiera x1; x2 e X tales
que f(x1) =f(x2), se cumple
la igualdad x1=x2
.
Proposición (criterio de la inyectividad de una
transformación lineal en términos de su núcleo).
Sean V; W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T
e L (V; W). Entonces: T es inyectiva ker (T) =f0Vg:
Demostración.
Supongamos que T es inyectiva. Tenemos por demostrar
la igualdad ker (T)=f0Vg.
Sabemos que la contención f0Vg ker (T) se
cumple para cualquier transformación lineal.
Vamos a demostrar que ker (T)=f0Vg.
Para ello, consideremos un vector arbitrario v e ker (T)
y demostremos que v=0V.
Por la definición del núcleo tenemos que T (v) =0W. Por otro
lado, sabemos que T(0V) =0W.
De las últimas
dos igualdades sigue que T (v) =T (0V). Como T es
inyectiva, podemos
concluir que v=0V.
Supongamos que ker (T) =f0g.
Sean u; v e V tales que T (u) =T (v), demostremos que u=v.
Por la linealidad de T.
REPRESENTACION MATRICIAL
Sea T: V → W una transformación lineal, donde V y W
son espacios vectoriales.
Sean e1 = (1, 0, 0,…, 0), e2 = (0, 1, 0, 0,…, 0), e3 = (0, 0, 1, 0,…, 0),…, en = (0, 0, 0,…, 0, 1). Suponga que {e1, e2, e3,…,
en} es una base de V.
Ahora,
sea T (e1) = w1, T (e2) = w2, T (e3)
= w3,…, T (en) = wn.
Llamamos a AT la matriz cuyas
columnas son w1, w2, w3,…, wn. Entonces a la matriz AT se le
llama la representación matricial de T.
Ejemplos (para discusión):
Ejercicios: Halla la representación matricial AT
y el rango de la transformación lineal dada:
Respuestas:
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