¿Por qué debería preocuparme por las transformaciones lineales?
Las transformaciones lineales constituyen una de las áreas más importantes de estudio en la matemática. Tienen usos y aplicaciones importantes en el mundo real y se muestran en diferentes áreas del sector de empleo. Los matemáticos describen las transformaciones lineales por un conjunto de reglas y relaciones pero, más simplemente, como un tipo de regla que, cuando se aplica, cambia el tamaño o la dirección de un vector.
Los matemáticos piensan en vectores como objetos del mismo modo que piensan un punto o una línea, pero los vectores se mueven en una dirección específica y tienen un valor. Por ejemplo, los físicos describen vectores de velocidad por sus variables: metros y horas. Como vector, la velocidad tiene metros como su valor y norte, sur, este u oeste para representar su dirección. Cualquier tipo de datos con más de una variable pueden representar un vector.
Modelos de regresión
Las transformaciones lineales ayudan a los investigadores a predecir acontecimientos futuros en los conjuntos de datos.
Los modelos de regresión ayudan a los investigadores a determinar los patrones en los datos recogidos. Ellos recogen datos y los introducen en un modelo de regresión que los organiza en un diagrama de dispersión o gráfico de líneas. Cada punto de la gráfica corresponde a un vector en dos variables. Por ejemplo, en un modelo de regresión que describe el número de búsquedas de Google hechas al año, el número de búsquedas se corresponde con el valor y el año representa la dirección. El investigador puede introducir los vectores en una transformación lineal que detecta la tendencia de los datos y predice el número de búsquedas que se producirán en los próximos años. Los investigadores médicos utilizan transformaciones lineales para predecir resultados importantes como los efectos de las hierbas medicinales en los pacientes con cáncer.
Computadoras
Las transformaciones lineales convierten una pantalla de pequeños cuadrados de color en una imagen en tres dimensiones. (John Foxx/Stockbyte/Getty Images)
Las transformaciones lineales tienen aplicaciones importantes en el mundo de los gráficos por computadora. Aunque los matemáticos observan una transformación lineal como una manipulación de vectores en un plano, los diseñadores gráficos lo miran como una manipulación de píxeles en una pantalla de una computadora. Cada vector representa un píxel de una imagen. Esto permite al diseñador utilizar una transformación lineal para agrandar, ampliar o girar los píxeles, uno por uno, hasta que la imagen siga su deseo. Los programadores usan las transformaciones lineales para hacer muchas de las imágenes tridimensionales y de computadora que disfrutas en línea.
Mercadotecnia
Los comercializadores resuelven muchos de sus problemas cotidianos con transformaciones lineales. Por ejemplo, en la comparación de varios tipos de productos para ver cuál produce el mayor beneficio. Un contador introduce diversos datos sobre el tipo de piezas que se necesitan para hacer cada producto como columnas en un gráfico. Cada columna representa un vector que puede introducirse en un programa de transformación lineal. La transformación lineal determina el costo por pieza y ayuda a que el negocio funcione de manera eficiente y te ofrezca el precio más bajo posible para sus productos.
El presente capítulo aborda una clase especial de funciones denominadas transformaciones lineales que ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y otras ramas de las matemáticas. Éstas tienen una gran variedad de aplicaciones importantes como ya lo vimos anteriormente.
Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios.
si A y B son un par de conjuntos no vacíos, la notación f : A → B significa que f es una función con dominio A y valores en B o, en forma más compacta, f es una función de A en B (cfr. definición 3.7, pág. 133); que en la notación y = f(x) a y se le llama el valor de la función f en x o la imagen de x bajo la función f ; a x se le dice variable independiente (o argumento de la función) y a y variable dependiente; y que al conjunto B se le dice contra dominio de la función. Una manera muy útil de interpretar una función f es como un conjunto de procedimientos, una máquina, que transforma cada elemento x (materia prima) de A en un producto y = f(x) elemento de B. El resultado de esta transformación, el elemento y = f(x), depende de la materia prima x que se introduzca cada vez a la máquina, y esta transformación está perfectamente determinada por esta máquina o conjunto de procedimientos f (la función o transformación). En este sentido interpretaremos, de aquí en adelante, el significado de una función entre espacios vectoriales: como una transformación de un espacio en otro.
Ejemplo:
Sean (V, +V , ·V ) y (W, +W , ·W ) dos K-espacios vectoriales. Una funci´on f : V → W se llama una transformaci´on lineal (u homomorfismo, o simplemente morfismo) de V en W si cumple:
i) f(v +V v 0 ) = f(v) +W f(v 0 ) ∀ v, v0 ∈ V.
ii) f(λ ·V v) = λ ·W f(v) ∀ λ ∈ K, ∀ v ∈ V.
NOTA!:
Si f : V → W es una transformación lineal, entonces f(0V ) = 0W .
Esto es cierto , puesto que f(0V ) = f(0V + 0V ) = f(0V ) + f(0V ), entonces 0W = f(0V ) + (−f(0V )) = ³ f(0V ) + f(0V ) ´ + (−f(0V )) = = f(0V ) + ³ f(0V ) + (−f(0V ))´ = f(0V ) + 0W = f(0V ).
Ejemplos
1. Sean V y W dos K-espacios vectoriales. Entonces 0 : V → W, definida por 0(x) = 0W ∀ x ∈ V , es una transformación lineal.
2. Si V es un K-espacio vectorial, id : V → V definida por id(x) = x es una transformación lineal.
3. Sea A ∈ Km×n. Entonces fA : Kn → Km definida por fA(x) = (A.xt ) t es una transformación lineal. 4. f : K[X] → K[X], f(P) = P 0 es una transformación lineal. 5. F : C(R) → R, donde C(R) = {f : R → R | f es continua}, F(g) = R 1 0 g(x) dx es una transformación lineal.
Como hemos mencionado al comienzo, las transformaciones lineales respetan la estructura de K-espacio vectorial. Esto hace que en algunos casos se respete la estructura de subespacio, por ejemplo en las imágenes y pre-imágenes de subespacios por transformaciones lineales:
A continuación vamos a revisar una proposición…
1. Si S es un subespacio de V , entonces f(S) es un subespacio de W.
2. Si T es un subespacio de W, entonces f −1 (W) es un subespacio de V .
Demostración 1.
Sea S ⊆ V un subespacio y consideremos f(S) = {w ∈ W / ∃ s ∈ S, f(s) = w}.
(a) 0W ∈ f(S), puesto que f(0V ) = 0W y 0V ∈ S.
(b) Sean w, w0 ∈ f(S). Entonces existen s, s0 ∈ S tales que w = f(s) y w 0 = f(s 0 ). Luego w + w 0 = f(s) + f(s 0 ) = f(s + s 0 ) ∈ f(S), puesto que s + s 0 ∈ S.
(c) Sean λ ∈ K y w ∈ f(S). Existe s ∈ S tal que w = f(s). Entonces λ·w = λ·f(s) = f(λ · s) ∈ f(S), puesto que λ · s ∈ S.
Demostración 2.
2. Sea T un subespacio de W y consideremos f −1 (T) = {v ∈ V / f(v) ∈ T}.
(a) 0V ∈ f −1 (T), puesto que f(0V ) = 0W ∈ T.
(b) Sean v, v0 ∈ f −1 (T). Entonces f(v), f(v 0 ) ∈ T y, por lo tanto, f(v + v 0 ) = f(v) + f(v 0 ) ∈ T. Luego v + v 0 ∈ f −1 (T).
(c)Sean λ ∈ K, v ∈ f −1 (T). Entonces f(v) ∈ T y, en consecuencia, f(λ·v) = λ·f(v) ∈ T. Luego λ · v ∈ f −1 (T).
Para poder ver las propiedades básicas tenemos que analizar un poco de la notación que ocuparemos.
Definición. Sean V y W espacios vectoriales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ∈ V un único vector Tv ∈ W y que satisface para cada u y v en V y cada escalar α,
T(u + v) = Tu + Tv (1)
T(αv) = αTv (2)
Notación. Escribimos T: V → W para indicar que T transforma V en W.
Propiedades básicas de las transformaciones lineales.
Teorema 1. Sea T: V → W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2, ..., vn en V y todos los escalares α1, α2, ..., αn:
i. T(0) = 0
ii. T(u - v) = Tu - Tv
iii. T(α1v1, α2v2, ..., αnvn) = α1Tv1+ α2Tv2+ ... + αnTvn
Nota. En la parte (i) el 0 de la izquierda, es el vector cero en V mientras que el 0 del lado derecho, es el vector cero en W.
Teorema 2. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B={v1, v2, ..., vn}. Sean w1, w2, ..., wn n vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V en W tales que T1vi= T2vi = wi para i = 1, 2, ..., n.
Entonces para cualquier vector v ∈ V, T1v = T2v. Es decir T1 = T2.
Teorema 3. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, ..., vn}. Sea también W un espacio vectorial que contiene a los n vectores w1, w2, ..., wn. Entonces existe una única transformación lineal T: V → W tal que Tvi = wi para i = 1, 2, ..., n.
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