Valores y vectores característicos

La meta de este capítulo es examinar detenidamente la acción de una transformación lineal x → Ax para obtener elementos que se visualicen fácilmente. Excepto por una breve digresión en la sección 5.4, todas las matrices del capítulo son cuadradas. Las principales aplicaciones descritas aquí son de sistemas dinámicos discretos, incluidos los de búhos manchados que se analizaron con anterioridad. Sin embargo, los conceptos básicos —vectores propios y valores propios— son útiles en todas las áreas de las matemáticas puras y aplicadas, y aparecen en contextos mucho más generales que los considerados aquí. Los valores propios también se usan para estudiar ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos continuos, proporcionan información crítica en el diseño de ingeniería, y se presentan naturalmente en campos como la física y la química.

En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio, eigenespacio o subespacio fundamental asociado al valor propio   es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.

La palabra alemana eigen, que se traduce en español como propio, se usó por primera vez en este contexto por David Hilbert en 1904 (aunque Helmholtz la usó previamente con un significado parecido). Eigen se tradujo también como inherente, característico o el prefijo auto-, donde se aprecia el énfasis en la importancia de los valores propios para definir la naturaleza única de una determinada transformación lineal. Las denominaciones vector y valor característicos también se utilizan habitualmente.

Sea T: V S W una transformación lineal. En diversas aplicaciones (una de las cuales se da en la siguiente sección) resulta útil encontrar un vector v en V tal que Tv y v son paralelos. Es decir, se busca un vector v y un escalar λ tal que Tv 5 λv (1) Si v Z 0 y λ satisface (1), entonces λ se denomina un valor característico de T y v un vector característico de T correspondiente al valor característico λ. El propósito de este capítulo es investigar las propiedades de los valores característicos y vectores característicos. Si V tiene dimensión finita, entonces T se puede representar por una matriz AT. Por esta razón se estudiarán los valores y los vectores característicos de las matrices de n x n.

Valor característico y vector característico Sea A una matriz de n 3 n con componentes reales.† El número λ (real o complejo) se denomina valor característico de A si existe un vector diferente de cero v en n tal que  Av = λv (2)

El vector v Z 0 se denomina vector característico de A correspondiente al valor característico λ.

Los valores y vectores característicos también se denominan valores y vectores propios o eigenvalores y eigenvectores; la palabra “eigen” es la palabra alemana para “propio”.

Llamamos operaciones elementales fila a las siguientes operaciones que son el resultado de multiplicar por la izquierda (premultiplicar) una matriz especial (matriz elemental):

MATRICES EQUIVALENTES

Dos matrices del mismo orden (pueden ser rectangulares o cuadradas), A y B, son equivalentes si existen dos matrices P y Q, cuadradas con determinante distinto de cero tales que B=PAQ. Dos matrices equivalentes tienen el mismo rango Dos matrices cuadradas del mismo orden, A y B, son congruentes si existe una matriz cuadrada P con determinante distinto de cero, de modo que se satisface B=PAPt . Si dos matrices son congruentes, entonces son equivalentes, por lo tanto si dos matrices son congruentes, tienen el mismo rango. Dos matrices cuadradas de orden n, A y B, son semejantes si existe una matriz cuadrada, P, con determinante distinto de cero, que satisfaga B=P-1AP. A la matriz B se le llama transformada de A mediante la matriz de paso P. Propiedades: - 1. Si A y B son semejantes , entonces son equivalentes. - 2. Si A y B son semejantes, tienen el mismo rango. - 3. Si (A,B) y (C, D) son semejantes con la misma matriz de paso, entonces A+C es semejante a B+D con matriz de paso P. - 4. Si A y B son semejantes con matriz de paso P, y n es un número natural, An y Bn son semejantes con matriz de paso P. 2.2. MATRIZ DIAGONALIZABLE. Una matriz A es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal, D, es decir, si existe P regular tal que A=PDP-1 . El proceso de cálculo de la matriz diagonal y de la matriz de paso se denomina diagonalización de A. 2.3. VALORES Y VECTORES PROPIOS. PROPIEDADES. Sea f un endomorfismo definido sobre un espacio vectorial de dimensión n mediante la relación f(x)=Ax, decimos que t perteneciente a K es un valor propio de la matriz A o del endomorfismo f si existe un vector x distinto de cero tal que tx=Ax. Al conjunto de vectores, x, que satisfacen la relación anterior se les llama conjunto de vectores propios o autovectores asociados a t. Obtención práctica de valores y vectores propios: Partimos de la ecuación matricial Ax=tx que también podemos expresar Ax-tx=0 o (A-tI)x=0. La ecuación vectorial anterior representa un sistema de ecuaciones homogéneo con matriz de los coeficientes A-tI. Este sistema de ecuaciones tendrá solución distinta de la trivial si el determinante de la matriz de los coeficientes es cero. El desarrollo de este determinante da lugar a un polinomio de grado n, al que llamaremos polinomio característico. Cuando igualamos este polinomio a cero, la ecuación que obtenemos se denomina ecuación característica. Las n soluciones de esta ecuación son los valores propios que estábamos buscando. Resumiendo: • Polinomio característico: |A-tI| • Ecuación característica: |A-tI|=0 • Matriz característica: A-tI Como la ecuación característica es de grado n, posee n soluciones, no necesariamente distintas. Por lo tanto es conveniente acompañar cada raíz del número de veces que se repita, a dicho número lo denominaremos orden de multiplicidad del valor propio.. Una vez calculados todos los valores propios habrá que calcular el conjunto de vectores propios asociado a cada uno de ellos. Esto lo haremos resolviendo para cada ti (valor propio) el siguiente sistema homogéneo (A-ti)x=0

• Multiplicar la fila s por un escalar a no nulo

          

• Sumar a la fila s la fila r multiplicada por el escalar a

      

• Intercambiar las filas r y s

       

A cada una de estas matrices se le denomina elemental y al producto de matrices elementales también.