DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES

DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES

Hasta ahora hemos visto que dada una aplicación lineal  

existe una única matriz A de orden n, asociada a f respecto de cierta base B de Rⁿ.

Una cuestión que nos podríamos plantear sería responder a la siguiente pregunta:

¿La aplicación lineal f podrá tener como matriz asociada una MATRIZ DIAGONAL D, respecto de cierta base B_D?

Es decir

¿Podremos encontrar una base B_D de Rⁿ respecto de la cual la matriz asociada a f sea diagonal?

Para responder a esta pregunta consideremos el siguiente ejemplo:
 

EJEMPLO.

Sea la aplicación lineal 

Donde f(x,y,z)=(6x-6y+2z, -x-y+z, 7x+3y+z)

¿Cuál es la matriz asociada respecto de las bases canónicas?

Definiendo la aplicación lineal en DERIVE tendremos:

Por tanto la matriz asociada respecto de las bases canónicas se obtiene con: 

Consideremos ahora una nueva base de R3 determinada por los vectores 

Para obtener la matriz asociada a la aplicación lineal f1 respecto de dicha base tendremos que calcular la coordenadas de las imágenes de dichos vectores en la citada base, es decir realizaremos las siguientes operaciones 

Para v1 se obtiene: 

Para v2 resulta que: 

Y para v3 obtenemos: 

Por tanto la nueva matriz asociada es: 

Que se trata de una matriz diagonal. 

¿Tendrán alguna relación matricial las matrices a1 y d1? 

Observemos lo siguiente. 

Si consideremoa un vector genérico de R3 

¿Cómo se obtendrán la coordenadas de este vector en la base BD?, 

las coordenadas serán aquelos valores (x,y,z) que verifiquen 

que expresado de forma vectorial sería lo mismo que considerar el producto de la matriz que tiene por columnas a los vectores v1, v2, v3, (llamemos a dicha matriz P1): 

Es decir que 

Por tanto como P1 es una matriz no singular (pues sus vectores columna forman una base de R3 y en consecuencia tiene rango completo), podemos calcular su inversa, es decir que podemos efectuar 

Por otro lado obsérvese que 

a. La matriz asociada a f1 respecto de las bases canónicas verifica que

b. La matriz asociada a f1 respecto de la base BD verifica que

Como teníamos que f1(u)=P1.f([x,y,z]) entonces tenemos que 

A1.P1.[x,y,z] =A1.u= f1(u)=P1.f1([x,y,z]) = P1.D1.[x,y,z] 

Es decir 

A1.P1.[x,y,z] = P1.D1.[x,y,z] 

Luego se tendrá que verificar que 

A1.P1 = P1.D1. 

Comprobémoslo: