MATRICES SIMÉTRICAS

MATRICES SIMÉTRICAS

Definición: Matríz simétrica

Diremos que una matriz A de orden mxn es una matriz simétrica si coincide con su traspuesta, es decir A=A`
Es evidente que las matrices simétricas tienen que ser matrices cuadradas. 
 
Ejercicio II-38b.
Construir dos matrices simétricas A y B de orden 4 y comprobar que se verifican las siguientes propiedades: 
 

1) A+B es simétrica 
2) a A es simétrica para cualquier valor perteneciente a los reales 
3) Si la matriz A tiene inversa entonces A^-1 es simétrica. 
4) En general A.B y B.A no han de ser simétricas.

  
Demostrar formalmente estas propiedades resulta muy sencillo porque:

Sean A,B matrices de orden n simétricas (A=A`; B=B`) 
 

1) Que (A+B) es simétrica es muy fácil puesto que

  
(A+B)' = A`+B` (porque la suma de traspuestas es la traspuesta) y ahora

A`+B`=A+B, ya que A y B son simétricas.

2)

3) Si A tiene inversa A^-1, entonces (A`)<sup>-1</sup>=(A<sup>-1</sup>)` por las propiedades de la traspuesta pero como A'=A entonces (A^-1)=(A^-1)'

  D) MATRICES ANTISIMÉTRICAS

Definición: Matriz antisimétrica.
Sea A una matriz de orden n, diremos que A=(a_ij) es ANTISIMÉTRICA si
a_ij = -a_ji , para todo i,j=1,...,n; es decir A=-A` 
 
Ejercicio II-39.

Comprobar que las matrices

son antisimétricas. 

Ejercicio II-40.
A partir de las dos matrices anteriores comprobar que se verifican las siguentes propiedades para las matrices antisimétricas:
1) A+B es antisimétrica. 
2)   es antisimétrica   
3) Si A.B=B.A entonces A.B es simétrica. En cambio esto no es cierto si A y B no conmutan en el producto.(para este caso considerar dos matrices para las cuales se verifique A.B=BA como pueden ser las matrices: 

4) Si A es invertible entonces su inversa A-1 es antisimétrica.