Diagonalización ortogonal

Definición.

Una matriz  P_nxn  se dice ortogonal, si sus columnas forman una base ortonormal de  IRⁿ.

Si  A_n =es ortogonal, las columnas de al ser multiplicadas escalarmente

entre sí resulta:  (a_i1 ... a_ni) = a_1i a_1j + ... + a_ni a_nj = , de donde 

A^tA = == I_n, pues para cada 1£ i, j £ n  la

entrada  i, j  del producto  A^tA  es igual a  (a_i1 ... a_ni)  , es decir: 1, si es una entrada 

i, i  en la diagonal y  0, si es una entrada  i, j  fuera de la diagonal (i ¹ j). Se concluye que una matriz es ortogonal, si y sólo si es invertible (la implicación que falta es fácil de probar) y su inversa es su traspuesta. Otra conclusión es que, así como las columnas de una matriz ortogonal forman una base ortonormal de  IRⁿ, las filas forman otra base ortonormal de  IRⁿ

Ejemplos:

• I_n =i)              es una matriz ortogonal. Sus columnas forman la base canónica de  IRⁿ, de la cual sabemos que es ortonormal.
• A = i)              es otro ejemplo de matriz ortogonal, para ver esto, basta multiplicar  A  por su traspuesta y verificar que resulta la identidad  2x2. 
• A =  es una matriz ortogonal  3x3, pues  A^tA = I_3x3.
• A = no es una matriz ortogonal, pues aunque sus columnas son ortogonales, no tienen norma uno.

Como ya sabemos, la diagonalización de una matriz  A_nxn  depende de la existencia de una matriz diagonalizante  C_nxn, con cuya inversa resulta el producto  C^-1AC  es una matriz diagonal. La matriz diagonalizante  C  se construye encontrando una base de  IRⁿ  formada por vectores propios de  A  y ubicando estos vectores propios como columnas de  C.

Ahora bien, si esta base de  IRⁿ  resulta ser una base ortonormal, entonces la matriz diagonalizante  C  es ortogonal y  C^-1AC  se puede escribir  C^tAC, pues para matrices ortogonales, como vimos arriba, vale  C^-1 = C^t. Este tipo de diagonalización se denomina diagonalización ortogonal y la matriz  A  se dice ortogonalmente diagonalizable.

Ejemplo:

Para la matriz  A= resultan  y vectores propios de  A, pues

 =  =  y  =  = (-2).

es un vector propio de  A asociado al valor propio  4  y un vector propio

de  A  asociado al valor propio  (-2). Resulta así la matriz  C =  una matriz

diagonalizante  de  A  y  C^-1AC = . Adicionalmente, como  C  es una matriz

ortogonal, la expresión  C^-1AC =  se transforma es  C^tAC =  y se tiene

así un ejemplo de una matriz  A  ortogonalmente diagonalizable.

Vamos a establecer ciertos fundamentos, que incluyen saber a priori cuándo es una matriz ortogonalmente diagonalizable, antes de enunciar un procedimiento para hacer este tipo de diagonalizaciones.

Teorema

Si  A_nxn  es real simétrica, a₁  y  a₂  dos valores propios diferentes de  A  y  v₁  y  v₂  dos vectores propios de  A, el vector v₁  asociado a  a₁  y  v₂  asociado a  a₂.

Entonces  v₁  y  v₂  son ortogonales (v₁ ^ v₂).

Demostración:

Notemos que si  u = y  v =  son dos vectores de  IRⁿ, el producto escalar 

u × v  se puede calcular multiplicando el vector fila  1xn: v^t  por el vector columna  nx1  u,

es decir;  v^t u = (v₁ ... v_n) = (v₁u₁ + ... + v_nu_n).

Teniendo esto en cuenta, proseguimos con la demostración.

Se evalúa el producto escalar  Av₁  por  v₂  de dos maneras:

Por un lado  Av₁ × v₂ = (a₁v₁) × v₂ = a₁ (v₁ × v₂), por otro 

Av₁ × v₂ = (Av₁) = (A) v₁ = (A^t v₂)^t v₁ = v₁ × (A^t v₂) = v₁ × (A v₂) = v₁ × (a₂ v₂) = a₂(v₁ × v₂), entonces  a₁ (v₁ × v₂) = a₂(v₁ × v₂)  y  (a₁ - a₂) (v₁ × v₂) = 0, como  a₁ ¹ a₂  es  a₁ - a₂ ¹ 0  y  tiene que ser  v₁ × v₂ = 0, es decir  v₁ ^ v₂.

Este teorema garantiza que las bases de los subespacios propios de  A  asociados a valores propios diferentes son ortogonales entres sí. Más explícitamente, si  a₁, ... ,a_k  son los diferentes valores propios de  A  y  b₁, ... , b_k  bases ortonormales de los subespacios propios  E _{, ... ,}  E  respectivamente, entonces  b = , ya sabemos que es un conjunto l.i., pero bajo estas condiciones es además un conjunto ortonormal. Para poder diagonalizar  A, sólo falta ver que  b =  tiene  n  elementos, eso está garantizado por un teorema cuya demostración escapa del alcance de este curso:

Teorema

Si  A  es una matriz real simétrica  nxn, entonces  A  es diagonalizable.

No tener la demostración de este teorema, no hace perder nada, pues en todos los ejemplos al tratar de diagonalizar una matriz real simétrica  A_nxn, se consigue una base de  IRⁿ  formada por  n  vectores propios  de  A. La diagonalización ortogonal de este tipo de matrices siempre es posible, pues al ortonormalizar siguiendo el procedimiento de Gramm-Schmidt las bases de cada subespacio propio y unir las bases así obtenidas, se tiene una base ortonormal de  IRⁿ, con la cual se tiene una matriz ortogonal  C  y la diagonalización ortogonal  C^tAC.

El procedimiento para diagonalizar ortogonalmente una matriz real simétrica  A_n  consta de tres pasos:

• Se determina una base para cada subespacio propio de  A.
• Se ortonormalizan según Gramm-Schmidt las bases de cada subespacio propio de  A.
•  Se unen estas bases ortonormalizadas obteniendo con éstas una base ortonormal de  IRⁿ  formada por vectores propios de  A.
• La matriz diagonalizante es aquélla que tiene por columnas a los vectores de la base ortonormal de  IRⁿ  obtenida en el paso anterior.